Question

设有关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．求上述方程有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析：记事件A=“方程x²+2ax+b²=0有实根”．由△=（2a）²-4b²≥0，得：a²≥b²，当a≥0，b≥0时，方程x²+2ax+b²=0有实根?a≥b．
（1）基本事件共6×6=36个，其中事件A包含21个基本事件，由此能求出方程有实根的概率．
（2）全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其面积为S=3×2=6，又构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，其面积为S′=3×2-

1

2

×22=4，由此能求出方程有实根的概率．

解答：解：记事件A=“方程x²+2ax+b²=0有实根”．
由△=（2a）²-4b²≥0，得：a²≥b²
所以，当a≥0，b≥0时，方程x²+2ax+b²=0有实根?a≥b（2分）
（1）基本事件共6×6=36个，
其中事件A包含21个基本事件：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，4）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
（5，5），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）
所以P(A)=

21

36

=

7

12

（6分）
（2）全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，
其面积为S=3×2=6．
又构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，
其面积为S′=3×2-

1

2

×22=4，
所以 P(A)=

4

6

=

2

3

（10分）

点评：本题考查古典概率及其运算公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．