Question

（2011•河北区一模）设有关于x的一元二次方程x²+ax+b²=0
（Ⅰ）若a是从1，2，3，4，5五个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（Ⅱ）若a是从区间[1，5]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）属于古典概型，列举法求出基本事件的个数，利用概率公式可得结论；
（Ⅱ）属于几何概型，以面积为测度，即可求得概率．

解答：解：设事件A为“方程x²+ax+b²=0有实根”，
当a＞0，b＞0时，方程x²+ax+b²=0有实根的充要条件为a≥2b．…（2分）
（Ⅰ）基本事件共15个：（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．…（4分）
事件A中包含11个基本事件，（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2）．…（6分）
∴事件A发生的概率为P(A)=

11

15

．…（8分）
（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤5，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤5，0≤b≤2，a≥2b}．…（10分）
所以所求的概率为P(A)=

4×2- 1 2 × 3 2 ×3

4×2

=

23

32

．…（13分）

点评：本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定概率的类型是关键．