Question

设有关于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0．
（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b=2，求上述方程没有实根的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，根据题意先做出方程没有实根的充要条件，列举出试验发生的所有事件，看出符合条件的事件，根据古典概型公式得到结果．
（2）由题意知本题是一个几何概型，根据前面做出的方程没有实根的充要条件，写出试验发生的所有事件包含的元素，和符合条件的元素的集合，根据几何概型公式得到结果．

解答：解：由题意知本题是一个古典概型，
设事件A为“方程x²-2ax+b²=0无实根”
当a＞0，b＞0时，方程x²-2ax+b²=0无实根的充要条件为
△=4a²-4b²=4（a²-b²）＜0，即a＜b
（1）基本事件共12个：（0，0）（0，1），（0，2），（1，0）（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），
（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A包含3个基本事件（0，1），（0，2）（1，2），
∴事件A发生的概率为P（A）=

3

12

=

1

4

．
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的所有基本事件所构成的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，b=2}，
其中构成事件B的区域为{（a，b）|0≤a≤3，b=2，a＜b}
∴所求概率为P（B）=

2

3

．

点评：高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，解题时，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．