Question

函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f(

x

2

)且f（1）=1，在每个区间(

1

2i

，

1

2i-1

]（i=1，2…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．
（1）求f（0）及f(

1

2

)，f(

1

4

)的值，并归纳出f(

1

2i

)(i=1，2，…)的表达式
（2）设直线x=

1

2i

，x=

1

2i-1

，x轴及y=f（x）的图象围成的矩形的面积为a_i（i=1，2…），记S(k)=

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)，求S（k）的表达式，并写出其定义域和最小值．

Answer 1

分析：（1）f（0）=2f（0），得f（0）=0及f（1）=1归纳总结得f（

1

2i

）=

1

2i

即可；
（2）
当

1

2i

＜x≤

1

2i-1

时f(x)=

1

2i-1

+k(x-

1

2i-1

)ai=

1

2

[

1

2i-1

+

1

2i-1

+k(

1

2i

-

1

2i-1

)](

1

2i-1

-

1

2i

)=(1-

k

4

)

1

22i-1

(i=1，2，)
所以{a_n}是首项为

1

2

(1-

k

4

)，公比为

1

4

的等比数列，所以S(k)=

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

1 2 (1- k 4 )

1- 1 4

=

2

3

(1-

k

4

)S（k）的定义域为0＜k≤1，当k=1时取得最小值即可．

解答：解：（1）由f（0）=2f（0），得f（0）=0，
由f(1)=2f(

1

2

)及f（1）=1，得f(

1

2

)=

1

2

f(1)=

1

2

，
同理，f(

1

4

)=

1

2

f(

1

2

)=

1

4

，
归纳得f(

1

2i

)=

1

2i

(i=1，2，…)，
（2）当

1

2i

＜x≤

1

2i-1

时f(x)=

1

2i-1

+k(x-

1

2i-1

)ai=

1

2

[

1

2i-1

+

1

2i-1

+…+k(

1

2i

-

1

2i-1

)](

1

2i-1

-

1

2i

)=(1-

k

4

)

1

22i-1

(i=1，2，…)，
所以{a_n}是首项为

1

2

(1-

k

4

)，公比为

1

4

的等比数列，
所以S(k)=

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

1 2 (1- k 4 )

1- 1 4

=

2

3

(1-

k

4

)S（k）的定义域为0＜k≤1，当k=1时取得最小值

1

2

．

点评：本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力．