Question

已知f（x）=x²+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=e^x，φ（x）=

f(x)

g(x)

．
（I）当a=1时，求φ（x）的单调区间；
（II）求φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，求实数a的取值范围；
（III）是否存在实数a，使φ（x）的极大值为3？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）当a=1时，φ（x）=（x²+x+1）e^-x．先对函数y=φ（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据φ′（x）＞0求得的区间是单调增区间，φ′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（II）求导函数，φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，等价于φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，进一步可得2-a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，由此可得a的取值范围；
（III）假设存在实数a，使φ（x）的极大值为3，再利用导数工具，求出φ（x）的极大值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（I）当a=1时，φ（x）=（x²+x+1）e^-x．φ′（x）=e^-x（-x²+x）
当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0
∴φ（x）单调减区间为（-∞，0），（1，+∞），单调增区间为（0，1）；
（II）φ′（x）=e^-x[-x²+（2-a）x]
∵φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，
∴φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴-x²+（2-a）x≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2-a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2-a≤1
∴a≥1
∵a≤2，，1≤a≤2；
（III）φ′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]
令φ′（x）=0，得x=0或x=2-a：

由表可知，φ（x）_极大=φ（2-a）=（4-a）e^a-2
设μ（a）=（4-a）e^a-2，μ′（a）=（3-a）e^a-2＞0，
∴μ（a）在（-∞，2）上是增函数，
∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4-a）e^a-2≠3，
∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，属于中档题．