Question

【题目】在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=2，且2a1 ， a3 ， 3a2成等差数列．
（Ⅰ） 求等比数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） 若数列{bn}满足bn=11﹣2log2an ， 求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，an＞0
因为2a1 ， a3 ， 3a2成等差数列，所以2a1+3a2=2a3 ，
即，
所以2q2﹣3q﹣2=0，解得q=2或（舍去），
又a1=2，所以数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由题意得，bn=11﹣2log2an=11﹣2n，
则b1=9，且bn+1﹣bn=﹣2，
故数列{bn}是首项为9，公差为﹣2的等差数列，
所以=﹣（n﹣5）2+25，
所以当n=5时，Tn的最大值为25．
【解析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由等差中项和等比数列的通项公式列出方程，结合题意求出q的值，再代入等比数列的通项公式化简；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意化简 bn ， 并判断出数列{bn}是等差数列，求出首项和公差，代入等差数列的前n项和公式，再对Tn进行配方，根据二次函数的性质求出它的最大值．