Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）x-12，x≤7}\\{（a+2）^{x-6}，x＞7}\end{array}\right.$是R上的增函数．
（I）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax（x∈[1，4]）的最小值为-$\frac{16}{3}$．试比较f{（g（x））与f（$\frac{10}{3}$）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）运用指数函数和一次函数的单调性，可得2-a＞0，a+2＞1，再由单调性的定义可得7（2-a）-12≤a+2，解不等式即可得到所求范围；
（Ⅱ）求得g（x）的导数，求得极值点，判断最小值点，解得a=2，再求最大值，由单调性即可得到所求大小．

解答 解：（I）由题意可得，当x≤7时，有2-a＞0，解得a＜2；
当x＞7时，有a+2＞1，解得a＞-1；
又7（2-a）-12≤a+2，解得a≥0．
综上可得0≤a＜2；
（Ⅱ）g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax的导数为g′（x）=-x²+x+2a，
由g′（x）=0，可得x=$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{2}$（舍去）或x=$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$，
由0≤a＜2，可得$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$∈[1，4]，且为最大值点，
若g（1）为最小值，即有$\frac{1}{6}$+2a=-$\frac{16}{3}$，解得a=-$\frac{11}{4}$（舍去）：
若g（4）为最小值，即有8a-$\frac{40}{3}$=-$\frac{16}{3}$，解得a=1，检验成立．
此时g（x）的最大值为g（2）=-$\frac{8}{3}$+2+4=$\frac{10}{3}$，
即有g（x）≤$\frac{10}{3}$，由f（x）在R上递增，可得
f（g（x））≤f（$\frac{10}{3}$）．

点评 本题考查函数的单调性的运用，考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．