Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²，b=2，则c+$\frac{4}{c}$的最大值为（　　）

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． 8
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 由已知结合正弦定理可得${a}^{2}=4\sqrt{3}c•sinA$，再与余弦定理结合可把c+$\frac{4}{c}$化为含有A的三角函数得答案．

解答 解：由S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a² =$\frac{1}{2}bc•sinA$，且b=2，得${a}^{2}=4\sqrt{3}c•sinA$，
又由a²=b²+c²-2bc•cosA，得$8c（\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA）=4+{c}^{2}$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）=\frac{4+{c}^{2}}{8c}$，
则c+$\frac{4}{c}$=8sin（$A+\frac{π}{6}$）．
∴当A=$\frac{π}{3}$时，c+$\frac{4}{c}$有最大值为8．
故选：B．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了学生的灵活变形能力，是中档题．