题目内容

6.若数列{an}满足:a1=2,an=$\frac{2(2n-1)}{n}$an-1,(n≥2).求证:
(1)an=${C}_{2n}^{n}$;
(2)an是偶数.

分析 (1)由a1=2,an=$\frac{2(2n-1)}{n}$an-1,(n≥2),可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2(2n-1)}{n}$.可得an=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$$•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a1即可证明.
(2)由(1)可得an=${∁}_{2n}^{n}$是一个整数,又an=$\frac{(2n)!}{n!n!}$=2n$•\frac{(2n-1)!}{n!n!}$,即可证明.

解答 证明:(1)∵a1=2,an=$\frac{2(2n-1)}{n}$an-1,(n≥2),可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2(2n-1)}{n}$.
∴an=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$$•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a1
=$\frac{2(2n-1)}{n}$•$\frac{2(2n-3)}{n-1}$•$\frac{2(2n-5)}{n-2}$•…•$\frac{2(2×3-1)}{3}$×$\frac{2×(2×2-1)}{2}$×2
=$\frac{2n(2n-1)}{n•n}$$•\frac{(2n-2)(2n-3)}{(n-1)(n-1)}$•…•$\frac{2×3×(2×3-1)}{3×3}$•$\frac{2×2×(2×2-1)}{2×2}$×2
=$\frac{(2n)!}{n!n!}$
=${∁}_{2n}^{n}$.
(2)由(1)可得an=${∁}_{2n}^{n}$是一个整数,
又an=$\frac{(2n)!}{n!n!}$=2n$•\frac{(2n-1)!}{n!n!}$,必定是偶数.

点评 本题考查了递推关系的应用、“累乘求积”、组合数的公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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