Question

设函数f（x）=ax³-3x²+bx，已知不等式

f(x)

x

＜0的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）求a、b的值．
（2）设函数g（x）=

f(x)

x2

，x∈[1，2]，求函数y=g（x）的最小值及对应的x值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得到方程ax²-3x+b=0的两根分别为1和2，利用根与系数的关系建立关于a、b的方程，解之即可得到实数a、b的值；
（2）化简函数g（x），得g(x)=x+

2

x

-3，利用基本不等式得x+

2

x

≥2

2

，当且仅当x=

2

时取“=”号．由此即可求出函数y=g（x）的最小值及对应的x值．

解答：解：（1）∵不等式

f(x)

x

＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴1和2是方程ax²-3x+b=0的根．…（2分）
由根与系数的关系，得

1•2= b a 1+2= 3 a

，解得

a=1 b=2

；…（6分）
（2）∵x∈[1，2]为正数，
∴函数g(x)=

f(x)

x2

=

x2-3x+2

x

=x+

2

x

-3≥2

2

-3…（10分）
当且仅当x=

2

时取“=”号．…（11分）
注意到

2

∈[1，2]，可得函数y=g（x）的最小值是2

2

-3，对应x的值是

2

．…（12分）

点评：本题给出关于三次多项式函数的不等式的解集，求函数的表达式，并依此求另一个函数的最值．着重考查了一元二次方程根与系数的关系、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．