题目内容
4.在平面直角坐标系中,点P在第四象限,且点P到点A(1,0)、B(a,4)及到直线x=-1的距离相等,如果这样的点P恰好只有一个,则a的值为( )A. | 1 | B. | -1 | C. | 2或-2 | D. | 1或-1 |
分析 由点P到点A(1,0)及到直线x=-1的距离相等,则点P的轨迹是抛物线:y2=4x,再设p点坐标为(m,-2$\sqrt{m}$),根据两点之间的距离公式,得到关于m的方程,再设t=$\sqrt{m}$>0,根据方程解的问题讨论a的值的问题.
解答 解:由点P到点A(1,0)及到直线x=-1的距离相等,则点P的轨迹是抛物线:y2=4x,
∵点P在第四象限,设p点坐标为(m,-2$\sqrt{m}$),
由于点P到点A(1,0)、B(a,4)及到直线x=-1的距离都相等,
∴|PA|=|PB|,
∴m+1=$\sqrt{(m-a)^{2}+(-2\sqrt{m}-4)^{2}}$,
即16$\sqrt{m}$+2m-2am+a2+15=0,
设t=$\sqrt{m}$>0,
则2(1-a)t2+16t+a2+15=0,
∵点P恰好只有一个,
∴方程的解只有一个,
当a=1时,16t+1+15=0,解得t=-1<0,不合题意,
当a≠1时,△=162-8(1-a)(a2+15)=0,解得a=-1,
故选:B.
点评 本题考查了抛物线的定义及其性质,以及点与点之间的距离公式,属于中档题.
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