题目内容

1.已知公比为q的等比数列{an}中,a5+a9=$\frac{1}{2}$q,则a6(a2+2a6+a10)的值为$\frac{1}{4}$.

分析 由a5+a9=$\frac{1}{2}$q求得${a}_{4}+{a}_{8}=\frac{1}{2}$,结合等比数列的性质可求a6(a2+2a6+a10)的值.

解答 解:∵a5+a9=$\frac{1}{2}$q,
∴${a}_{4}q+{a}_{8}q=\frac{1}{2}q$,
∴${a}_{4}+{a}_{8}=\frac{1}{2}$.
又∵数列{an}是等比数列,
∴${a}_{6}•{a}_{10}={{a}_{8}}^{2},{a}_{2}•{a}_{6}={{a}_{4}}^{2},{a}_{4}{a}_{8}={{a}_{6}}^{2}$,
∴a6(a2+2a6+a10)=${a}_{2}•{a}_{6}+2{{a}_{6}}^{2}+{a}_{6}•{a}_{10}$
=${{a}_{4}}^{2}+2{a}_{4}•{a}_{8}+{{a}_{8}}^{2}$=$({a}_{4}+{a}_{8})^{2}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$.
故答案为:$\frac{1}{4}$.

点评 本题考查等比数列的通项公式,考查了等比数列的性质,考查灵活计算能力,是基础题.

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