题目内容
(本小题满分13分)已知函数
(I)当0< a < b,且f(a) = f(b)时,求的值;
(II)若存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域为 [a,b]时,值域为 [ma,mb](m≠0).求m的取值范围.
【答案】
(1)
(2)
【解析】解:(I) ∵
∴f(x)在(0,1)上为减函数,在上是增函数.
由0<a<b,且f(a)=f(b),可得
0<a1<b且
.所以
.
(II)若存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域为[ma,mb].
则a>0,m>0.
当时,由于f(x)在(0,1)上是减函数,故
.
此时得a,b异号,不符合题意,所以a,b不存在.
当
时,易知0在值域内,值域不可能是[ma,mb],所以a,b不存在. 故只有
. ∵
在
上是增函数,
∴
即
a、b是方程
的两个根.
即关于x的方程有两个大于1的实根.设这两个根为
,
.
则+
=
,
·
=
.
∴
即
解得
.

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