题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,
分别是椭圆
的左、右顶点(如图所示),点
在椭圆的长轴
上运动,且
.设圆
是以点
为圆心,
为半径的圆.
(1)若,圆
和椭圆在第一象限的交点坐标为
,求椭圆的方程;
(2)若椭圆的离心率为,过点
作互相垂直的两条直线,交椭圆于P,Q两点,若直线PQ过点M,求m的值(用含
的代数式表示);
(3)当圆与椭圆有且仅有点
一个交点时,求
的运动范围(用含
的代数式表示).
【答案】(1); (2)
; (3)
.
【解析】
(1)先求圆的半径,再得B坐标,即得,根据点在椭圆上解得
,(2)根据离心率得
,根据BP⊥BQ,利用向量数量积化坐标表示,联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理代入化简可得结果,(3)根据题意得不等式
,利用坐标表示得
,最后利用导数确定函数
最大值,即得结果.
(1),则
即椭圆的方程为,
(2)因为椭圆C的离心率为,则
,
,
点
,椭圆
的方程为
.
设直线PQ的方程为x=ty+m(0<m<2b),
将x=ty+m代入,
得.
由题设可知Δ=16(4b2-m2+b2t2)>0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2= ,y1y2=
.
而x1+x2=t(y1+y2)+2m=.
x1x2=(ty1+m)(ty2+m)=t2y1y2+tm(y1+y2)+m2=.
由题设BP⊥BQ,即 .
=(x1-2b,y1)(x2-2b,y2)=(x1-2b)(x2-2b)+y1y2=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+y1y2-2b(x1+x2)+4b2 ,
化简得5m2-16bm+12b2=0,解得m=2b(舍),m=.
所以m=.
,
,
,
,
,
,
所以m的取值范围是.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如下频数分布表:
收看时间(单位:小时) | ||||||
收看人数 | 14 | 30 | 16 | 28 | 20 | 12 |
(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”,否则定义为“非体育达人”,请根据频数分布表补全列联表:
男 | 女 | 合计 | |
体育达人 | 40 | ||
非体育达人 | 30 | ||
合计 |
并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关;
(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为,求的
分布列与数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
【题目】某城镇社区为了丰富辖区内广大居民的业余文化生活,创建了社区“文化丹青”大型活动场所,配备了各种文化娱乐活动所需要的设施,让广大居民健康生活、积极向上.社区最近四年内在“文化丹青”上的投资金额统计数据如表:(为了便于计算,把2015年简记为5,其余以此类推)
年份 | 5 | 6 | 7 | 8 |
投资金额 | 15 | 17 | 21 | 27 |
(1)利用所给数据,求出投资金额与年份
之间的回归直线方程
;
(2)预测该社区在2019年在“文化丹青”上的投资金额.
(附:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.)