题目内容
已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N) 顺次为一次函数图象上高考资源网的点, 点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N) 顺次为x轴正半轴上高考资源网的点,其中x1=a(0<a<1), 对于任意n∈N,点An、Bn、An+1构成以
Bn为顶点的等腰三角形。
⑴求{yn}的通项公式,且证明{yn}是等差数列;
⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数(不必证明),并求出数列{xn}的通项公式;
⑶在上高考资源网述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此时a值;
若不存在, 请说明理由。
(1) (2)xn=
⑶存在直角三形,此时a的值为、
、
解析:
(1)(n??N),yn+1-yn=
,∴{yn}为等差数列 (4??)
(2)xn+1-xn=2为常数 (6??) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…,x2n都是公差为2的等差数列,
∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a,x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a,
∴xn= (10??)
(3)要使AnBnAn+1为直角三形,则 |AnAn+1|=2=2(
)??xn+1-xn=2(
)
当n为奇数时,xn+1=n+1-a,xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
??2(1-a)=2() ??a=
(n为奇数,0<a<1) (*)
取n=1,得a=,取n=3,得a=
,若n≥5,则(*)无解; (14??)
当偶数时,xn+1=n+a,xn=n-a,∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()??a=
(n为偶数,0<a<1) (*??),取n=2,得a=
,
若n≥4,则(*??)无解.
综上高考资源网可知,存在直角三形,此时a的值为、
、
. (18??)
