题目内容

已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N)    顺次为一次函数图象上高考资源网的点,   点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N)    顺次为x轴正半轴上高考资源网的点,其中x1=a(0<a<1),    对于任意n∈N,点An、Bn、An+1构成以

    Bn为顶点的等腰三角形。

⑴求{yn}的通项公式,且证明{yn}是等差数列;

⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数(不必证明),并求出数列{xn}的通项公式;

⑶在上高考资源网述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此时a值;

若不存在, 请说明理由。

(1)    (2)xn=  

⑶存在直角三形,此时a的值为


解析:

(1)(n??N),yn+1-yn=,∴{yn}为等差数列 (4??)

   (2)xn+1-xn=2为常数 (6??) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…,x2n都是公差为2的等差数列,

        ∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a,x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a,

        ∴xn=  (10??)

   (3)要使AnBnAn+1为直角三形,则 |AnAn+1|=2=2()??xn+1-xn=2()

        当n为奇数时,xn+1=n+1-a,xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).

        ??2(1-a)=2() ??a=(n为奇数,0<a<1)  (*)

        取n=1,得a=,取n=3,得a=,若n≥5,则(*)无解; (14??)

        当偶数时,xn+1=n+a,xn=n-a,∴xn+1-xn=2a.

        ∴2a=2()??a=(n为偶数,0<a<1)  (*??),取n=2,得a=,

        若n≥4,则(*??)无解.

        综上高考资源网可知,存在直角三形,此时a的值为. (18??)

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