题目内容
【题目】如图,已知四面体ABCD中,DA=DB=DC=且DA、DB、DC两两互相垂直,点
是△ABC的中心.
(1)求直线DA与平面ABC所成角的大小(用反三角函数表示);
(2)过作OE⊥AD,垂足为E,求ΔDEO绕直线DO旋转一周所形成的几何体的体积;
(3)将△DAO绕直线DO旋转一周,则在旋转过程中,直线DA与直线BC所成角记为,求
的取值范图.
【答案】(1);(2)
;(3)[0,
].
【解析】
(1)由题意知可得即为直线DA与平面ABC所成角,在直角三角形DAO中求解即可.
(2)由圆锥的几何特征可得,该几何体由两个底面相等的圆锥组合而成,其中两个圆锥的高的和为,底为
,代入圆锥的体积公式,即可得到答案;
(3)根据异面直线所成角的定义,可得当直线DA与直线BC垂直时它们的所成角是90°,达到最大值.由直线与平面所成角的性质,当点A满足直线BC与OA平行时,直线DA与直线BC所成角等于∠OAD,达到最小值.由此结合题中数据加以计算,即可得到DA与BC所成角的余弦值的取值范围.
(1)由题意知,DO⊥底面ABC,∴即为直线DA与平面ABC所成角,
∵DA=DB=DC=且DA、DB、DC两两互相垂直,∴AB=CB=AC=6,∴AO=
∴,∴
.
(2)过E作EH⊥DO,由已知可得,
,OE=2,由此得
,
∴△DEO绕直线DO旋转一周所形成的几何体的体积;
(3)根据题意,可得在旋转过程中,当直线DA与直线BC垂直时它们的所成角为90°,
此时两条直线所成的角的余弦值为0,达到最小值.
当点A满足直线BC与OA平行时,DA与BC所成的角等于∠OAD,由直线与平面所成角的性质,可得此时两条直线所成的角达到最小值,余弦值达到最大值.
∵DA=DB=DC=1,且DA,DB,DC两两互相垂直,
∴AB=BC=CA,得到△ABC是边长为
的等边三角形,
因此圆O的半径RAB
,
设直线BC与OA平行时的点A的位置为A',
∴Rt△AOD中,cos∠OA'D,即DA与BC所成的余弦值最大值为
,
综上所述,直线DA与直线BC所成角余弦值的取值范围是[0,].
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