Question

若奇函数y=f（x）（x≠0），在x＞0时，f（x）=x-1，则x•f（x-1）＜0的x的取值范围是（　　）

A、（-∞，0）

B、（1，2）

C、（-∞，0）∪（1，2）

D、（-∞，0）∪（0，2）

Answer 1

分析：当x＜0时，-x＞0则f（-x）=-x-1，由函数为奇函数可得f（-x）=-f（x）可求f（x）
当x＞0时，由xf（x-1）＜0可得f（x-1）＜0，；当x＜0时，由xf（x-1）＜0可得f（x-1）＞0，从而可求x得范围

解答：解：当x＜0时，-x＞0则f（-x）=-x-1
由函数为奇函数可得f（-x）=-f（x）
∴f（x）=x+1，x＜0
∴f(x)=

x-1，x＞0 x+1，x＜0

当x＞0时，由xf（x-1）＜0可得f（x-1）＜0，则x-1＜-1或0＜x-1＜1，即x＜0或1＜x＜2
∴1＜x＜2
当x＜0时，由xf（x-1）＜0可得f（x-1）＞0，则x-1＞1或-1＜x-1＜0，即x＞2或0＜x＜1，此时x不存在
故选B．

点评：本题主要考查了利用奇函数的定义求解函数的解析式，及与分段函数有关的不等式的解法，属于函数性质的综合应用．