题目内容
如图所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图,四周的实线为网衣,为避免混养,用筛网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的小网箱.(1)若大网箱的面积为108平方米,每个小网箱的长x,宽y设计为多少米时,才能使围成的网箱中筛网总长度最小;
(2)若大网箱的面积为160平方米,网衣的造价为112元/米,筛网的造价为96元/米,且大网箱的长与宽都不超过15米,则小网箱的长、宽为多少米量,可使总造价最低?
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【答案】分析:(1)将实际问题转化成数学问题,出现乘积是定值,且等号能取到,利用基本不等式求最值.
(2)将实际问题转化成数学问题,出现乘积是定值,但等号取不到,不能用基本不等式求最值,利用导数求函数单调性求最值.
解答:
解:(1)设小网箱的长、宽分别为x米、y米,筛网总长度为S,
依题意4x•2y=108,即
,S=4x+6y,
因为
,所以S≥36,
当且仅当2x=3y时,等号成立,
解方程组
得
即每个小网箱的长与宽分别为与4.5米与3米时,网箱中筛网的总长度最小.
(2)设总造价为W元,则由4x•2y=160,得xy=20,
因为4x≤15,2y≤15,所以
,
,∴
=
,
求导,可得W(x)在
上单调递减,所以当
时,W最小,此时
,
,
即当小网箱的长与宽分别为
米与
米时,可使总造价最低.
点评:本题考查利用基本不等式请求函数的最值是一定注意使用的条件:一正;二定;三相等.
(2)将实际问题转化成数学问题,出现乘积是定值,但等号取不到,不能用基本不等式求最值,利用导数求函数单调性求最值.
解答:
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依题意4x•2y=108,即
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因为
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当且仅当2x=3y时,等号成立,
解方程组
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即每个小网箱的长与宽分别为与4.5米与3米时,网箱中筛网的总长度最小.
(2)设总造价为W元,则由4x•2y=160,得xy=20,
因为4x≤15,2y≤15,所以
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求导,可得W(x)在
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即当小网箱的长与宽分别为
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点评:本题考查利用基本不等式请求函数的最值是一定注意使用的条件:一正;二定;三相等.
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