Question

14．已知函数f（x）=x³-2x²+x+a，g（x）=-2x+$\frac{9}{x}$，若对任意的x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[2，4]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围是[-$\frac{7}{4}$，-$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 分别求出g（x），f（x）的最大值和最小值，得到不等式组，解出即可．

解答 解：问题等价于f（x）的值域是g（x）的值域的子集，
显然，g（x）单调递减，∴g（x）_max=g（2）=$\frac{1}{2}$，g（x）_min=g（4）=-$\frac{23}{4}$；
对于f（x），f′（x）=3x²-4x+1，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{3}$或x=1，
x，f′（x），f（x）的变化列表如下：

x	-1	（-1，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	a-4	递增	$\frac{4}{27}$+a	递减	a	递增	a+2

∴f（x）_max=a+2，f（x）_min=a-4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2≤\frac{1}{2}}\\{a-4≥-\frac{23}{4}}\end{array}\right.$，
∴a∈[-$\frac{7}{4}$，-$\frac{3}{2}$]，
故答案为：[-$\frac{7}{4}$，-$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．