Question

19．设a，b为不等于1的正数，且实数x，y，z满足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{z}$．求证：
（1）若a^x=b^y，则a^x=（ab）^z
（2）若a^x=（ab）^z，则b^y=（ab）^z．

Answer 1

分析 （1）设a^x=b^y=k＞0，且k≠1．可得xlga=ylgb=lgk，代入$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{lga}{lgk}$+$\frac{lgb}{lgk}$=$\frac{1}{z}$．化简整理即可证明．
（2）仿照（1）即可证明．

解答 证明：（1）设a^x=b^y=k＞0，且k≠1．
∴xlga=ylgb=lgk，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{lga}{lgk}$，$\frac{1}{y}$=$\frac{lgb}{lgk}$，
∵$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{lga}{lgk}$+$\frac{lgb}{lgk}$=$\frac{1}{z}$．∴zlg（ab）=lgk=xlga，
∴lg（ab）^z=lga^x．
∴a^x=（ab）^z．
（2）设a^x=（ab）^z=k＞0，且k≠1．
∴xlga=zlg（ab）=lgk，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{lga}{lgk}$，$\frac{1}{z}$=$\frac{lg（ab）}{lgk}$=$\frac{lga+lgb}{lgk}$，
∵$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{z}$，
∴$\frac{lga}{lgk}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{lg（ab）}{lgk}$，
∴$\frac{1}{y}$=$\frac{lgb}{lgk}$，
∴ylgb=lgk=zlg（ab），
即lgb^y=lg（ab）^z，
∴b^y=（ab）^z．

点评 本题考查了对数的运算性质、换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．