题目内容
在△ABC中，a，b，C分别是内角A，B，C所对的边，并且sinA=2sinBcosC，a=b=2
．
（1）求∠A的值；
（2）若点P为线段AB上一点，且
•
=12，求线段AP的长．
| 5 |
（1）求∠A的值；
（2）若点P为线段AB上一点，且
| CA |
| CP |
分析：（1）利用三角形的内角和以及诱导公式、两角和的正弦函数化简sinA=2sinBcosC，推出sin（B-C）=0，然后求出三角形的形状，求出∠A的值．
（2）求出
，利用
•
，直接展开，即可求出线段AP的长．
（2）求出
| CP |
| CA |
| CP |
解答：解：（1）∵sinA=sin[180°-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
∴cosBsinC=sinBcosC，
sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∴∠B-∠C=0或180°，
∵∠B，∠C是三角形的内角，∴∠B-∠C=0
∴∠B=∠C，
即b=c，
又a=b=2
，
∴a=b=c，
三角形是等边三角形，
∴∠A=60°．
（2）∵
=
+
，
•
=12，
∴(
+
) •
=12
∴
2+
•
=12，
∴|
|2+|
| • |
| cos120°=12，
即(2
)2+ |
| •2
•(-
) =12，
整理得|
| =
．
∴cosBsinC=sinBcosC，
sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∴∠B-∠C=0或180°，
∵∠B，∠C是三角形的内角，∴∠B-∠C=0
∴∠B=∠C，
即b=c，
又a=b=2
| 5 |
∴a=b=c，
三角形是等边三角形，
∴∠A=60°．
（2）∵
| CP |
| CA |
| AP |
| CA |
| CP |
∴(
| CA |
| AP |
| CA |
∴
| CA |
| AP |
| CA |
∴|
| CA |
| AP |
| CA |
即(2
| 5 |
| AP |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
整理得|
| AP |
8
| ||
| 5 |
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，三角方程的解法，向量的数量积，注意向量的夹角与向量的关系，考查计算能力．
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在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（ ）
A、
| ||||
| B、1 | ||||
C、
| ||||
D、
|