Question

如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a
（1）求证直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角A-VB-C的大小．

Answer 1

分析：（I）由题意及面面垂直平行的性质定理，和直线与直线垂直得到线面垂直，在利用公垂线的定义即可得证；
（II）解法1：有（1）可知BC⊥平面AB₁C，且△AB₁C为正三角形，利用这些就可判断出线段AD的长即为点A到平面VBC的距离；
解法2：此问还可以利用三棱锥的体积可以进行顶点轮换法求出；
（III）利用三垂线定理，找到二面角的平面角，利用三角形解除二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC，
∴B₁C₁∥BC，B₁C₁∥BC∵BC⊥AC∴B₁C₁⊥A₁C₁
又∵平面AB₁C⊥平面ABC，平面AB₁C∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面AB₁C，
∴BC⊥AB₁
∴B₁C₁⊥AB₁，
又∵B₁C₁∥BC，B₁C₁∥BC，且BC⊥AC∴B₁C₁⊥A₁C₁，
∴B₁C₁为AB₁与A₁C₁的公垂线．

（Ⅱ）解法1：过A作AD⊥B₁C于D，
∵△AB₁C为正三角形，
∴D为B₁C的中点．
∵BC⊥平面AB₁C
∴BC⊥AD，
又B₁C∩BC=C，
∴AD⊥平面VBC，
∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离．
在正△AB₁C中，l．
∴点A到平面VBC的距离为

3

a．
解法2：取AC中点O连接B₁O，则B₁O⊥平面ABC，且B₁O=

3

a．
由（Ⅰ）知BC⊥B₁C，设A到平面VBC的距离为x，
∴VB1-ABC=VA-BB1C，
即

1

3

×

1

2

BC•AC•B1O=

1

3

×

1

2

BC•B1C•x，
解得x=

3

a．
即A到平面VBC的距离为

3

a．
则d=||

AB1

|•cos＜

AB1

，n＞|=||

AB1

|•cos＜

AB1 •n

| AB1 |•|n|

＞|=

2 3 a

2

=

3

a．
所以，A到平面VBC的距离为

3

a．

（III）过D点作DH⊥VB于H，连AH，由三重线定理知AH⊥VB
∴∠AHD是二面角A-VB-C的平面角．
在Rt△AHD中，
DH=

B1D•BC

B1B

=

5

5

a．
∴tan∠AHD=

AD

DH

=

15

．
∴∠AHD=arctan

15

．
所以，二面角A-VB-C的大小为arctan

15

．

点评：（I）抓住题中条件，发挥学生的空间想象能力及理解能力，重点考查了面面垂直的性质定理，还考查了面面平行的性质及两个异面直线间公垂线的定义；
（II）此问重点考查了线面垂直的判定，还在令解的方法中考查了三棱锥计算体积时常常使用顶点进行轮换的方法（也是常说的等体积轮换法）
（III）此问重点考查了利用三垂线定理找二面角的平面角的常用方法，还考查了求角的大小的反三角函数的表示方法．