Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，2AB=BB₁，
过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E．
（1）求证：面A₁CB⊥平面BED；
（2）求A₁B与平面BDE所成的角的正弦值

Answer 1

分析：（1）建立坐标系，写出两个平面上要用的点的坐标，构造两个向量，设出两个平面的法向量，根据向量垂直的充要条件得到两个平面的法向量，由于两个平面的法向量数量积为0，得到结论．
（2）本题要求的是线面角，写出线上的向量坐标，根据直线上的向量与平面的法向量所成的角的余弦的绝对值等于线面角的正弦值，得到结果．

解答：解：以D为原点，DA，DC，DD₁为坐标轴建立坐标系，设AB=1
由题意知A₁（1，0，2），C（0，1，0），B（1，1，0），E（0，1，

1

2

），D（0，0，0）
∴

A1C

=（-1，1，-2），

BC

=（-1，0，0），

DE

=（0，1，

1

2

），

DB

=（1，1，0）
（1）设面A₁CB的法向量是

m

=（x，y，z），平面BED的法向量是

n

=（a，b，c）
根据法向量与平面的向量数量积是0
得到

m

=（0，2，1），

n

=（1，-1，2），
∴

m

•

n

=0，
∴面A₁CB⊥平面BED．

（2）∵

A1B

=（0，1，-2）
平面BED的法向量是

n

=（1，-1，2），
设A₁B与平面BDE所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

A1B

，

n

＞|=|

-5

5 6

|=

30

6

，
∴A₁B与平面BDE所成的角的正弦值为

30

6

．

点评：本题是一个高考题型，空间向量与立体几何是近几年高考必考的内容，是一个送分题，题目的思维量不大，知识运算比较麻烦，同学们解题时要细心．