Question

命题甲：“方程x2+

y2

m

=1是焦点在y轴上的椭圆”，
命题乙：“函数f(x)=

4

3

x3-2mx2+(4m-3)x-m=0在（-∞，+∞）上单调递增”，
这两个命题有且只有一个成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：根据椭圆的标准方程可得：当甲命题成立时实数m的取值范围是m＞1，当命题乙成立时，则有f′（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0在（-∞，+∞）上恒成立，即△=16m²-16（4m-3）≤0，解得：实数m的取值范围是：1≤m≤3，进而得到当两个命题有且只有一个成立时实数m的取值范围．

解答：解：因为命题甲：“方程x2+

y2

m

=1是焦点在y轴上的椭圆”，
所以根据椭圆的标准方程可得：当甲命题成立时实数m的取值范围是m＞1，
因为命题乙：“函数f(x)=

4

3

x3-2mx2+(4m-3)x-m=0在（-∞，+∞）上单调递增”，
所以当命题乙成立时，则有f′（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0在（-∞，+∞）上恒成立，即△=16m²-16（4m-3）≤0，
所以解得：实数m的取值范围是：1≤m≤3，
所以当两个命题有且只有一个成立时则有：

m＞1 m＜1或m＞3

或者

m≤1 1≤m≤3

，
解得：m＞3或m=1．
所以 实数m的取值范围为m=1或m＞3．

点评：本题主要是借助于判断命题的真假来考查函数单调性的判断与证明、椭圆的简单性质等知识点，解决成立问题的关键是熟练掌握有关基础知识，此题属于基础题．