Question

10．设命题p：函数y=lg（x²-2x+a）的定义域是R，命题q：y=（a-1）^x为增函数，如果命题“p∨q”为真，而命题“p∧q”为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q成立的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：对于命题p：函数$y=lg（{{x^{_2}}-2x+a}）$的定义域是R，
∴x²-2x+a＞0在R上恒成立，
∴△=4-4a＜0，解得：a＞1；
对于命题q：y=（a-1）^x为增函数，只需a-1＞1，解得：a＞2，
又∵命题“p∨q”为真，而命题“p∧q”为假，
∴命题p与命题q一真一假，
$p真q假时，\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤2}\end{array}}\right.，即1＜a≤2$，
$p假q真时，\left\{{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a＞2}\end{array}}\right.，无解$，
综上所述，实数a的取值范围为（1，2]．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查对数函数、指数函数的性质，是一道基础题．