Question

18．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}4-8|{x-\frac{3}{2}}|，1≤x≤2\\ \frac{1}{2}f（\frac{x}{2}），x＞2\end{array}$，给出下列结论：
（1）函数f（x）的值域为[0，4]；
（2）关于x的方程$f（x）={（\frac{1}{2}）^n}$（n∈N^*）有2n+4个不相等的实数根；
（3）当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为2；
（4）存在x₀∈[1，8]，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立，
其中正确的结论个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由已知解析式，画出函数的图象，进而根据图象分析四个结论的真假，综合分析结果得出答案．

解答 解：当1≤x≤$\frac{3}{2}$时，f（x）=4+8（x-$\frac{3}{2}$）=8x-8；
当$\frac{3}{2}$＜x≤2时，f（x）=4-8（x-$\frac{3}{2}$）=-8x+16．
当2＜x≤3时，1＜$\frac{x}{2}$≤$\frac{3}{2}$，f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$（8×$\frac{x}{2}$-8）=2x-4；
当3＜x≤4时，$\frac{3}{2}$＜$\frac{x}{2}$≤2，f（x）=$\frac{1}{2}$（-8×$\frac{x}{2}$+16）=-2x+8．
当4＜x≤6时，2＜$\frac{x}{2}$≤3，f（x）=$\frac{1}{2}$（2×$\frac{x}{2}$-4）=$\frac{1}{2}$x-2；
当6＜x≤8时，3＜$\frac{x}{2}$≤4，f（x）=$\frac{1}{2}$（-2×$\frac{x}{2}$+8）=-$\frac{1}{2}$x+4．…．
画出函数f（x）的图象：
由图象可知：
（1）函数f（x）的值域为[0，4]，正确；
（2）当n=1时，关于x的方程f（x）=$\frac{1}{2}$有7个不相等的实根，因此②不正确；
（3）当x∈[2^n-1，2ⁿ]时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=$\frac{1}{2}$×2^n-1×2^3-n=2，正确；
（4）画出函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象，可知与函数y=f（x）有交点，
如x=$\frac{3}{2}$，3，6等，因此不存在x₀∈[1，8]，使得不等式f（x₀）＞$\frac{6}{{x}_{0}}$即x₀f（x₀）＞6成立，因此不正确．
综上可知：（1）（3）正确．
故正确结论的个数为2个，
故选：B．

点评 本题考查了分段函数的解析式、图象及其性质，考查了分类讨论、数形结合的思想方法，属于难题