题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)时,f(x)>0,当x∈(-2,0)时,f(x)<0,且对任意x∈R,不等式f(x)≥(a-1)x-1恒成立.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)设函数F(x)=tf(x)-x-3,其中t≥0,求F(x)在时的最大值H(t);
(III)在(II)的条件下,若关于的函数y=log2[p-H(t)]的图象与直线y=0无公共点,求实数的取值范围.
【答案】分析:(I)由已知得a>0,且-2和0为方程ax2+bx+c=0的两根,故可设f(x)=ax(x+2),利用f(x)≥(a-1)x-1恒成立,求出a的值.
(II)由题意,分情况讨论F(x)在时的最大值H(t).当t=0时,F(x)是单调函数,可求最大值;当t>0时,利用二次函数求最值的方法,分类讨论;
(III)由题意,只需要[p-H(t)]>0,且p-H(t)=1无解,即[p-H(t)]max>0,且1不在[p-H(t)]值域内,故问题得解.
解答:解:(I)由已知得a>0,且-2和0为方程ax2+bx+c=0的两根,∴可设f(x)=ax(x+2),又由f(x)≥(a-1)x-1恒成立得(a-1)2≤0,∴a=1,∴f(x)=x2+2x
(II)F(x)=tf(x)-x-3=tx2+(2t-1)x-3(t≥0),以下分情况讨论F(x)在时的最大值H(t)
(1)当t=0时,F(x)=-x-3在时单调递减,
(2)当t>0时,F(x)图象的对称轴方程为.∵,∴只需比较的大小
,F(x)max=8t-5;

综上可得
(III)由题意,只需要[p-H(t)]>0,且p-H(t)=1无解,即[p-H(t)]max>0,且1不在[p-H(t)]值域内
由(II)可知H(t)的最小值为,即-H(t)的最大值为,∴,∴
点评:本题考查代入法求函数的解析式,考查了二次函数在定区间上的最值问题,考查恒成立问题的处理,属中档题.
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