Question

如图△ABC，D是∠BAC的平分线
（Ⅰ）用正弦定理证明：=；
（Ⅱ）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设∠ADB=α，∠BAD=β则在△ABD中根据正弦定理，同时在△ACD中根据正弦定理由根据∠BAD=∠DAC，∠DCA=180°-α，进而得出，进而证明=
（Ⅱ）先由余弦定理在△ABC求出BC，再根据AB=2，AC=1，=求出BD和DC，在△ABD中由余弦定理得求出AD
解答：（Ⅰ）证明：设∠ADB=α，∠BAD=β，则∠ADC=180°-α，∠CAD=β
由正弦定理得，在△ABD中，①
在△ACD中，，②
又sinα=sin（180°-α）③
由①②③得：=．

（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理得
BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC
=4+1-2×2×1×cos120°=7.20090209
故BC=
设BD=x，DC=y，则
x+y=④
由（Ⅰ）得
，即x=2y⑤
联立④⑤解得x=，y=
故cosB==
在△ABD中，由余弦定理得
AD²=AB²+BD²=2AB•BDcos∠ABD
=4+（）2-2×2××
=
所以AD=．
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题的时候往往通过这两个定理进行角和边的互化，故应灵活运用．