Question

18．已知tanα=3．
（1）求$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$及sin²α十2sinαcosα的值；
（2）若π＜α＜$\frac{3π}{2}$，求cosα-sinα的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式、“弦化切”即可得出；
（2）由tanα=3，可得sinαcosα=$\frac{sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{tanα}{ta{n}^{2}α+1}$．又π＜α＜$\frac{3π}{2}$，可得$\frac{5π}{4}＜α＜\frac{3π}{2}$，因此cosα-sinα＞0，于是cosα-sinα=$\sqrt{（cosα-sinα）^{2}}$=$\sqrt{1-2sinαcosα}$，即可得出．

解答 解：（1）∵tanα=3．
∴$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$=$\frac{tanα-4}{5tanα+2}$=$\frac{3-4}{5×3+2}$=$-\frac{1}{17}$．
sin²α十2sinαcosα=$\frac{si{n}^{2}α+2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+2tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{{3}^{2}+2×3}{{3}^{2}+1}$=$\frac{3}{2}$；
（2）∵tanα=3，∴sinαcosα=$\frac{sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{3}{10}$．
∵π＜α＜$\frac{3π}{2}$，∴$\frac{5π}{4}＜α＜\frac{3π}{2}$，
∴cosα-sinα＞0，
∴cosα-sinα=$\sqrt{（cosα-sinα）^{2}}$=$\sqrt{1-2sinαcosα}$=$\sqrt{1-2×\frac{3}{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、“弦化切”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．