题目内容

已知函数和点,过点作曲线的两条切线,切点分别为
(Ⅰ)设,试求函数的表达式;
(Ⅱ)是否存在,使得三点共线.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数,在区间内总存在个实数,使得不等式成立,求的最大值.

(Ⅰ)函数的表达式为
(Ⅱ)存在,使得点三点共线,且
(Ⅲ)的最大值为

解析试题分析:(Ⅰ)设两点的横坐标分别为
 
∴切线的方程为:
切线过点
,即, (1)
同理,由切线也过点,得.(2)
由(1)、(2),可得是方程的两根,
 ( * )


把( * )式代入,得,
因此,函数的表达式为
(Ⅱ)当点共线时,
,即
化简,得
.   (3)
把(*)式代入(3),解得
存在,使得点三点共线,且
(Ⅲ)解法:易知在区间上为增函数,


依题意,不等式对一切的正整数恒成立,

对一切的正整数恒成立.



由于为正整数,
又当时,存在,对所有的满足条件.
因此,的最大值为
解法:依题意,当区间的长度最小时,
得到的最大值,即是所求值.
长度最小的区间为
时,与解法

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