题目内容

4.已知点A(1,2)、B(5,-1),且A,B两点到直线l的距离都为2,求直线l的方程.

分析 此题需要分为两类来研究,一类是直线L与点A(1,2)和点B(5,-1)两点的连线平行,一类是线L过两点A(1,2)和点B(5,-1)中点,分类解出直线的方程即可.

解答 解:∵|AB|=$\sqrt{{(5-1)}^{2}{+(-1-2)}^{2}}$=5,$\frac{1}{2}$|AB|>2,
∴A与B可能在直线l的同侧,也可能直线l过线段AB中点,
①当直线l平行直线AB时:kAB=$\frac{-1-2}{5-1}$=-$\frac{3}{4}$,可设直线l的方程为y=-$\frac{3}{4}$x+b
依题意得:$\frac{|-\frac{3}{4}-2+b|}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}$=2,解得:b=$\frac{21}{4}$或b=$\frac{1}{4}$,
故直线l的方程为:3x+4y-1=0或3+4y-21=0(6分)
②当直线l过线段AB中点时:AB的中点为(3,$\frac{1}{2}$),可设直线l的方程为y-$\frac{1}{2}$=k(x-3)
依题意得:$\frac{|4k+3|}{\sqrt{{4k}^{2}+4}}$=2,解得:k=$\frac{7}{24}$,
故直线l的方程为:$\frac{7}{24}$x-2y-$\frac{3}{4}$=0.

点评 本题考查点到直线的距离公式,求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式,对空间想像能力要求较高,考查了对题目条件分析转化的能力.

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