题目内容

过椭圆 $数学公式$ =1（a＞b＞0）右焦点F（2，0）作倾斜角为60°的直线，与椭圆交于A、B两点，若|BF|=2|AF|，则椭圆的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：由直线方程的点斜式，可得直线AB的方程为y= $\text{[math]}$ （x-2），与椭圆的方程消去x，得（a²+ $\text{[math]}$ b²）y²+ $\text{[math]}$ b²y+4b²-a²b²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系结合已知条件得y₁+y₂=- $\text{[math]}$ =-y₁，y₁y₂= $\text{[math]}$ =-2y₁²，消去y₁得关于a、b的方程，结合a²=b²+4联解，可得a=3，从而得到该椭圆的离心率．
解答：∵直线AB经过F（2，0）且倾斜角为60°，
∴AB的斜率k=tan60°= $\text{[math]}$ ，得直线AB方程为y= $\text{[math]}$ （x-2）
将直线AB方程与椭圆 $\text{[math]}$ =1联解，消去x得：（a²+ $\text{[math]}$ b²）y²+ $\text{[math]}$ b²y+4b²-a²b²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得y₁+y₂=- $\text{[math]}$ ，y₁y₂= $\text{[math]}$
∵|BF|=2|AF|，
∴y₁+y₂=-y₁= $\text{[math]}$ ，y₁y₂=-2y₁²= $\text{[math]}$
消去y₁，得-2（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ …（1）
又∵椭圆的焦点F（2，0）
∴a²=b²+4，代入（1）式化简整理，得-96b⁴=-3b⁴（4b²+12），解之得b²=5
由此可得a²=9，a=3，所以椭圆的离心率e= $\text{[math]}$
故选：B
点评：本题给出椭圆经过右焦点倾角为60度的弦AB被焦点分成1：2的两部分，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识点，属于基础题．