题目内容
【题目】已知函数f(x)=|x+1|.
(1)若不等式f(x)≥|2x+1|1的解集为A,且,求实数t的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若,证明:f(ab)>f(a)f(b).
【答案】(1)(,2] (2)详见解析
【解析】
(1)零点分区间去掉绝对值,得到解集为{x|-1≤x≤1},由集合间的包含关系得到-1≤1-t<t-2≤1,解得;(2)原式等价于|ab+1|>|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,两边展开,提公因式即可得证.
(1)不等式f(x)≥|2x+1|-1,即|x+1|-|2x+1|+1≥0.
当x<-1时,不等式可化为-x-1+(2x+1)+1≥0,解得x≥-1,这时原不等式无解;
当,不等式可化为x+1+(2x+1)+1≥0,解得x≥-1,这时不等式的解为;
当时,不等式可化为x+1-(2x+1)+1≥0,解得x≤1,这时不等式的解为.
所以不等式f(x)≥|2x+1|-1的解集为{x|-1≤x≤1}.
因为[1-t,t-2]A,
所以-1≤1-t<t-2≤1,解得.
即实数t的取值范围是(,2].
(2)证明:因为f(a)-f(b)=|a+1|-|-b+1|≤a+1-(-b+1)=|a+b|,
所以要证f(ab)>f(a)-f(-b)成立,
只需证|ab+1|>|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,
也就是证明a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2成立,
即证a2b2-a2-b2+1>0,即证(a2-1)(b2-1)>0.
因为A={x|-1≤x≤1},,
所以|a|>1,|b|>1,a2>1,b2>1.
所以(a2-1)(b2-1)>0成立.
从而对于任意的,都有f(ab)>f(a)-f(-b)成立.
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