题目内容

(本小题满分12分)
若(2x+4)2010=a0+a1x+a2x2+…+a2010x2010,则a0+a2+a4+…+a2010被3除的余数是多少?
若(2x+4)2010=a0+a1x+a2x2+…+a2010x2010,则a0+a2+a4+…+a2010被3除的余数是多少?
解:在已知等式中
取x=1得a0+a1+a2+…+a2010=62010,
取x=-1得a0-a1+a2-…+a2010=22010,
两式相加得2(a0+a2+…+a2010)=62010+22010,
即a0+a2+…+a2010=×(62010+22010)=×62010+22009. ……(6分)
注意到×62010能被3整除;……(8分)
22009=2×(22)1004=2×(3+1)1004=2×(31004+C·31003+…+C·3+1),被3除的余数是2,因此a0+a2+a4+…+a2010被3除的余数是2.……(12分)
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