题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6，0)，C(1，
)，点，M满足
=
，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．
（1）求∠OCM的余弦值；
（2）是否存在实数λ，使(
-λ
)⊥
，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
| 3 |
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OA |
（1）求∠OCM的余弦值；
（2）是否存在实数λ，使(
| OA |
| OP |
| CM |
（1）由题意可得
=(6，0)，
=(1，
)，
=
=(3，0)，
=(2，-
)，
=(-1，-
)，
故cos∠OCM=cos＜
，
＞=
=
．
（2）设P(t，
)，其中1≤t≤5，λ
=(λt，
λ)，
-λ
=(6-λt，-
λ)，
=(2，-
)．
若(
-λ
)⊥
，
则(
-λ
)•
=0，
即12-2λt+3λ=0，
可得（2t-3）λ=12．
若t=
，则λ不存在，
若t≠
，则λ=
，
∵t∈[1，
）∪（
，5]，
故λ∈(-∞，-12]∪[
，+∞)．
| OA |
| OC |
| 3 |
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| CM |
| 3 |
| CO |
| 3 |
故cos∠OCM=cos＜
| CO |
| CM |
| ||||
|
|
| ||
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（2）设P(t，
| 3 |
| OP |
| 3 |
| OA |
| OP |
| 3 |
| CM |
| 3 |
若(
| OA |
| OP |
| CM |
则(
| OA |
| OP |
| CM |
即12-2λt+3λ=0，
可得（2t-3）λ=12．
若t=
| 3 |
| 2 |
若t≠
| 3 |
| 2 |
| 12 |
| 2t-3 |
∵t∈[1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
故λ∈(-∞，-12]∪[
| 12 |
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与
的夹角为
，且
，那么
的值为 ．