Question

4．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图象可求周期T，利用周期公式可求ω，由点（$\frac{5π}{12}$，0）在函数图象上，可得Asin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=0，又结合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，从而$\frac{5π}{6}$+φ=π，解得φ，又点（0，1）在函数图象上，可得Asin$\frac{π}{6}$=1，解得A，即可求得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）即可解得f（x）的单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）由题设图象知，周期T=2（$\frac{11π}{12}-\frac{5π}{12}$）=π，∴$ω=\frac{2π}{T}=2$．
因为点（$\frac{5π}{12}$，0）在函数图象上，所以Asin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=0，即sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=0．
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{5π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$+φ＜$\frac{4π}{3}$，从而$\frac{5π}{6}$+φ=π，即φ=$\frac{π}{6}$，
又点（0，1）在函数图象上，所以Asin$\frac{π}{6}$=1，A=2，
故函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），…（5分）
（Ⅱ）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），
解得：k$π-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间是：[k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]（k∈Z）．…（10分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．