Question

设函数f（x）=

2x+a

1+2x

（a∈R）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若m∈R⁺，且满足log

1+x

1-x

＞log₃

1+x

m

，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）求得f（-x），再由f（-x）=-f（x），求得a的值．　
（Ⅱ）由 log3

1+x

1-x

＞log₃

1+x

m

，得

-1＜x＜1 log3(1+x)-log3(1-x)＞log3(1+x)-log3m

，
化简可得

-1＜x＜1 1-m＜x

．分-1＜1-m＜1，和当1-m≤-1两种情况，分别求得x的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

2x+a

1+2x

，f（-x）=

2-x+a

1+2-x

=

1+a•2x

1+2x

，（2分）
根据f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），（4分）
即-

2x+a

1+2x

=

1+a•2x

1+2x

，即 1+a•2^x=-2^x-a，解得 a=-1．　（6分）
（Ⅱ）由 log3

1+x

1-x

＞log₃

1+x

m

，得

-1＜x＜1 log3(1+x)-log3(1-x)＞log3(1+x)-log3m

，（8分）
即

log3(1-x)＜log3k -1＜x＜1

，即 

-1＜x＜1 1-m＜x

．　　（9分）
当-1＜1-m＜1，即0＜m＜2时，1-m＜x＜1；
当1-m≤-1，即m≥2时，-1＜x＜1．（12分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，对数函数的单调性和特殊点，体现了转化、分类讨论的数学思想，
属于中档题．