Question

(本小题满分12分) 在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，点在底面上的射影恰是中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当侧棱和底面成角时， 求
（Ⅲ）若为侧棱上一点，当为何值时，．

Answer 1

（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
（Ⅲ）

本试题主要考查了同学们的空间想象能力和逻辑推理能力及计算能力的综合运用。对于空间中点线面的位置关系的研究和灵活的运用。
（1）中利用线面垂直的性质定理得到
（2）中，分析棱锥的底面积和高度，可以得到体积。
（3）中，结合三垂线定理和中心的位置关系得到结论。
解法一：（Ⅰ）连结AO，∵A₁O⊥面ABC，AO⊥BC．∴A₁A⊥BC．     
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A₁AO=45°      3分
由底面是边长为2的正三角形，可知AO=3
∴A₁O=3，AA₁=3
4                          7分
（Ⅲ）过D作DF∥A₁O，交AO于F，则DF⊥平面ABC．
∴BF为BD在面ABC内的射影，
又∵A₁C₁∥AC，∴要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即证BF⊥AC，
∴F为△ABC的中心，∴     12分