已知方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0有两个不等的非零根.则a的取值范围是．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0有两个不等的非零根，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．

分析由方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0得a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，x≠0；再令f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，从而求导f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$以确定函数的单调性及取值，从而确定a的取值范围．

解答解：由方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0得，
a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，x≠0；
令f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
则f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$；
故f（x）在（-∞，1）上是增函数，且f（x）＜f（1）=$\frac{1}{e}$；
在（1，+∞）上是减函数，且0＜f（x）＜$\frac{1}{e}$；
故若方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0有两个不等的非零根，
则a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）．

点评本题考查了导数的综合应用及方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．

练习册系列答案

5．设A=（-∞，3]，B=[a，10），若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）在x轴上的顶点分别为A，B，且以坐标原点为圆心，以椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，P为椭圆上不同于A、B的一动点．
（1）若k_AP×k_BP=-$\frac{1}{2}$，且短轴长为2，求椭圆方程？
（2）连结P与原点O交椭圆于Q，过Q作QN⊥PQ交椭圆于N，QM⊥x轴于M，求证：P、N、M三点共线．

12．

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上
（1）求证：AC⊥平面PDB
（2）当PD=$\sqrt{2}$AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，D（1，$\frac{3}{2}$）是椭圆C上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B分别是椭圆C的左、右顶点，P，Q是椭圆C上异于A，B的两个动点，直线AP，AQ的斜率之积为-$\frac{1}{4}$．
①设△APQ与△BPQ的面积分别为S₁，S₂，请问：是否存在常数λ（λ∈R）．得S₁=λS₂恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
②求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

9．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是$[1，\sqrt{3}]$．

6．下列说法正确的是（　　）

	A．	“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件
	B．	若数据x₁，x₂，x₃，…，x_n的方差为1，则2x₁，2x₂，2x₃，…，2x_n的方差为2
	C．	在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx+cosx≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$”发生的概率为$\frac{1}{2}$
	D．	已知随机变量X服从正态分布N（2，σ²），且P（X≤4）=0.84，则P（X≤0）=0.16

7．对任意实数x，不等式|8-x|≥3+m恒成立，求实数m的取值范围．

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