题目内容
5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）在x轴上的顶点分别为A，B，且以坐标原点为圆心，以椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，P为椭圆上不同于A、B的一动点．（1）若kAP×kBP=-$\frac{1}{2}$，且短轴长为2，求椭圆方程？
（2）连结P与原点O交椭圆于Q，过Q作QN⊥PQ交椭圆于N，QM⊥x轴于M，求证：P、N、M三点共线．
分析 （1）根据kAP×kBP=-$\frac{1}{2}$，且短轴长为2，建立方程关系求出a，b即可求椭圆方程．
（2）设出P．M，N，Q的坐标求出对应的斜率，利用斜率相等即可证明三点关系．
解答 解：（1）设点P（x0，y0），
∵b=c，∴a=$\sqrt{2}$b，
则kAP×kBP=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-a}•\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}+a}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-2{b}^{2}}=-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴b=1，a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）设P（x0，y0），N（x1，y1），
则Q（-x0，-y0），M（-x0，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1}\end{array}\right.$，两式作差得$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}=-\frac{{x}_{0}-{x}_{1}}{2（{y}_{0}-{y}_{1}）}$ ①，
∵QN⊥PQ，
∴kQN×kPQ=$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-1，②，
①代入②得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}=\frac{{y}_{0}}{2{x}_{0}}$，
即kMN=kPM，即P、N、M三点共线．
点评 本题主要考查椭圆方程的求解以及三点关系的证明，利用斜率之间的关系是解决本题的关键．
阅读快车系列答案| A． | （0，3） | B． | （1，1） | C． | （2，4） | D． | （2，5） |
| A． | （-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$） | B． | （-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞） | C． | （-∞，-$\frac{1}{8}$）∪（$\frac{1}{8}$，+∞） | D． | （-$\frac{1}{8}$，0）∪（0，$\frac{1}{8}$） |
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．| A． | $\frac{5}{9}$ | B． | $\frac{7}{12}$ | C． | $\frac{5}{12}$ | D． | $\frac{7}{10}$ |