Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，D（1，$\frac{3}{2}$）是椭圆C上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B分别是椭圆C的左、右顶点，P，Q是椭圆C上异于A，B的两个动点，直线AP，AQ的斜率之积为-$\frac{1}{4}$．
①设△APQ与△BPQ的面积分别为S₁，S₂，请问：是否存在常数λ（λ∈R）．得S₁=λS₂恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
②求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y²=4x的焦点重合，可得焦点F（1，0），可得c=1，1=a²-b²．由于D（1，$\frac{3}{2}$）是椭圆C上一点，可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1．联立解出即可．
（2）①A（-2，0），B（2，0）．当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，△＞0，由根与系数的关系及其$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=-$\frac{1}{4}$，可得2k²+km-m²=0，点A到直线PQ的距离d₁，点B到直线PQ的距离d₂，利用$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$，即可得出．当直线PQ的斜率不存在时，同样得出$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=3．
②设直线AP的斜率为k，则直线BQ的斜率为$\frac{1}{-4k}$，直线AP的方程为：y=k（x+2），直线BQ的方程为：y=-$\frac{1}{4k}（x-2）$，消去k即可得出．

解答 解：（1）由抛物线y²=4x的焦点重合，可得焦点F（1，0），∴c=1，1=a²-b²．
∵D（1，$\frac{3}{2}$）是椭圆C上一点，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1．
把a²=1+b²代入上式可得：$\frac{1}{1+{b}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，解得b²=3．
∴a²=4．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①A（-2，0），B（2，0）．
当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△＞0，可得m²＜3+4k²．
x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
又$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=-$\frac{1}{4}$，y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∴4k²x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²+x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=0，
∴（4k²+1）x₁x₂+（4km+2）（x₁+x₂）+4+4m²=0，
∴$\frac{（4{k}^{2}+1）（4{m}^{2}-12）}{（3+4{k}^{2}）}$+$\frac{（4km+2）（-8km）}{3+4{k}^{2}}$+4+4m²=0，
化为2k²+km-m²=0，
∴2k=m或k=-m．满足△＞0．
点A到直线PQ的距离d₁=$\frac{|-2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
点B到直线PQ的距离d₂=$\frac{|2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}|PQ|{d}_{1}}{\frac{1}{2}|PQ|{d}_{2}}$=$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{|2k-m|}{|2k+m|}$，
把k=-m代入可得：$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=3．
当直线PQ的斜率不存在时，x₁=x₂，y₂=-y₁，
∴k_APk_AQ=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}•\frac{-{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$-\frac{1}{4}$，
化为2y₁=±（x₁+2）．
代入椭圆方程可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=±\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，x₁=-2舍去．
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=3．
综上可得：存在常数λ=3．得S₁=3S₂恒成立．
②设直线AP的斜率为k，则直线BQ的斜率为$\frac{1}{-4k}$，
直线AP的方程为：y=k（x+2），
直线BQ的方程为：y=-$\frac{1}{4k}（x-2）$，
消去k可得：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，即为直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、三角形面积计算公式、直线的交点等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．