题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率
，左、右焦点分别是
、
，以原点
为圆心，椭圆
的短半轴为半径的圆与直线
相切．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设
为椭圆上不在
轴上的一个动点，过点作
的平行线交椭圆与
、
两个不同的点，记
，
，令
，求
的最大值．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．
【解析】
（1）由圆心到切线的距离求出
，再由离心率可求得
，从而得椭圆方程；
（2）设
，
，
，
，由平行线的等积转化，得
，因此设直线方程为
，代入椭圆方程整理后用韦达定理得
，代入
后利用基本不等式可得最大值．
解：（1）由题意可知：椭圆
焦点在
轴上，以原点
为圆心，椭圆
的短半轴为半径的圆与直线
相切，
所以
，
又椭圆的离心率
，解得：
，
椭圆的方程为：；
（2）由（1）可知：椭圆的右焦点
，
，设，，，，
，
，
设直线
，
，整理得：
，
，
，
，
，
由
，
，
当且仅当
时，即
时，取等号，
的最大值为．
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