Question

【题目】设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列．记cn=bn﹣an ．
（1）求证：数列{cn+1﹣cn+d}为等比数列；
（2）已知数列{cn}的前4项分别为9，17，30，53．
①求数列{an}和{bn}的通项公式；
②是否存在元素均为正整数的集合A={n1 ， n2 ， …，nk}，（k≥4，k∈N*），使得数列cn1 ， cn2 ， …，cnk等差数列？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：依题意，cn+1﹣cn+d=（bn+1﹣an+1）﹣（bn﹣an）+d

=（bn+1﹣bn）﹣（an+1﹣an）+d=bn（q﹣1）≠0，

从而 ，又c2﹣c1+d=b1（q﹣1）≠0，

∴{cn+1﹣cn+d}是首项为b1（q﹣1），公比为q的等比数列

（2）解：①由（1）得，等比数列{cn+1﹣cn+d}的前3项为8+d，13+d，23+d，

则（13+d）2=（8+d）（23+d），

解得d=﹣3，从而q=2，且 ，

解得a1=﹣4，b1=5，

∴ ；

②假设存在满足题意的集合A，不妨设l，m，p，r∈A（l＜m＜p＜r），

且cl，cm，cp，cr成等差数列，则2cm=cp+cl，

∵cl＞0，∴2cm=cp+cl ①

若p＞m+1，则p≥m+2，结合①得， ，

则2[52m﹣1+（3m+1）]＞52p﹣1+（3p+1）＞52m+1+3（m+2）+1，

化简得， ，②

∵m≥2，m∈N*，不难知 ，这与②矛盾，

∴只能p=m+1，同理r=p+l=m+2，

∴cm，cp，cr为数列{cn}的连续三项，从而2cm+1=cm+cm+2，

即2（bm+1﹣am+1）=（bm﹣am）+（bm+2﹣am+2），又2am+1=am+am+2．

故2bm+1=bm+bm+2，又 ，故q=1，这与q≠1矛盾，

∴假设不成立，从而不存在满足题意的集合A

【解析】（1）依题意，cn+1﹣cn+d=（bn+1﹣an+1）﹣（bn﹣an）+d=（bn+1﹣bn）﹣（an+1﹣an）+d=bn（q﹣1）≠0，利用等比数列的定义，即可证得结论；（2）①由（1）得，等比数列{cn+1﹣cn+d}的前3项为8+d，13+d，23+d，求出d，q，即可求数列{an}和{bn}的通项公式；②利用反证法，假设存在满足题意的集合A，不妨设l，m，p，r∈A（l＜m＜p＜r），且cl ， cm ， cp ， cr成等差数列，则2cm=cp+cl ， 得出cm ， cp ， cr为数列{cn}的连续三项，从而2cm+1=cm+cm+2 ， 只能q=1，这与q≠1矛盾，即可证明结论．