Question

19．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ax+（2a-1）lnx，其中a∈R．
（I）a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （I）求出导数，求得切线的斜率和切点坐标，由直线方程的形式即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，并分解因式，讨论当a≤$\frac{1}{2}$时，当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，当a=1，当a＞1时，由导数大于0可得增区间，由导数小于0，可得减区间．

解答 解：（I）f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx的导数为f′（x）=x-2+$\frac{1}{x}$，
即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=1-2+1=0，
切点为（1，-$\frac{3}{2}$），
则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ax+（2a-1）lnx的导数为
f′（x）=x-2a+$\frac{2a-1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2ax+2a-1}{x}$=$\frac{（x-1）（x-2a+1）}{x}$，
当a=1时，f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≥0，f（x）在（0，+∞）递增；
当a＞1时，2a-1＞1，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1或x＞2a-1；
由f′（x）＜0，可得1＜x＜2a-1；
即有f（x）的减区间为（1，2a-1），增区间为（0，1），（2a-1，+∞）；
当a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）=x-1，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，0＜2a-1＜1，由f′（x）＞0，可得0＜x＜2a-1或x＞1；
由f′（x）＜0，可得2a-1＜x＜1；
即有f（x）的减区间为（2a-1，1），增区间为（0，2a-1），（1，+∞）；
当a＜$\frac{1}{2}$时，2a-1＜0，由f′（x）＞0，可得x＞1；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
即有f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．
综上可得，当a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，f（x）的减区间为（2a-1，1），增区间为（0，2a-1），（1，+∞）；
当a=1时，f（x）增区间为（0，+∞）；
当a＞1时，f（x）的减区间为（1，2a-1），增区间为（0，1），（2a-1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和判断单调性，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．