Question

16．对一个非零自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1．如此进行直到变为1为止．那么经过三次操作能变为1的数为2，3，8；经过11次操作能变为1的非零自然数的个数为3，8，89．

Answer 1

分析 对一个非零自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1．如此进行直到变为1为止．那么经过三次操作能变为1的个数．同理可以得到经过11次操作能变为1的个数．

解答 解：①假设n为偶数，a₁=$\frac{n}{2}$．若$\frac{n}{2}$为偶数，则a₂=$\frac{n}{4}$；若$\frac{n}{4}$为偶数时，可得a₃=$\frac{n}{8}$，则$\frac{n}{8}$=1，解得n=8．
若$\frac{n}{2}$为奇数，则a₂=$\frac{n}{2}$+1；若$\frac{n}{2}$+1为偶数时，可得a₃=$\frac{1}{2}（\frac{n}{2}+1）$，则$\frac{1}{2}（\frac{n}{2}+1）$=1，解得n=2．
若$\frac{n}{2}$+1为奇数时，可得a₃=$\frac{n}{2}$+1+1，则a₃=$\frac{n}{2}$+1+1=1，解得n=-2，舍去．
②假设n为奇数，a₁=n+1．若n+1为偶数，则a₂=$\frac{n+1}{2}$；若a₂为偶数时，可得a₃=$\frac{n+1}{4}$=1，解得n=3．
若n+1为奇数，则a₂=n+1+1；若a₂为偶数时，可得a₃=$\frac{1}{2}（n+2）$=1，解得n=0，舍去．
若a₂为奇数时，可得a₃=n+1+1+1，则a₃=$\frac{1}{2}$（n+3）=1，解得n=-1，舍去．
故经过三次操作能变为1的数为2，3，8．
同理，得到经过11次操作能变为1的非零自然数的个数为3，8，89．
故答案为：2，3，8；  3，8，89．

点评 本题重点考查了斐波那契数列及其特征，属于难题．