Question

1．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）是定义域为R的奇函数，且当x=2时，f（x）取得最大值2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 现根据函数的奇偶性和最值求出函数的解析式为f（x）=2sin$\frac{π}{4}$x，可得函数f（x）的直销正周期8，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）的值．

解答 解：已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）是定义域为R的奇函数，∴φ=kπ，k∈Z，
而|φ|≤$\frac{π}{2}$，故φ=0，∴f（x）=Asinωx．
再根据x=2时，f（x）取得最大值2，可得A=2，且2sin2ω=2，即sin2ω=1，
故 2ω=$\frac{π}{2}$，即ω=$\frac{π}{4}$，故y=2sin$\frac{π}{4}$x，
故函数f（x）的最小正周期为 $\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，再根据100=8×12+4，
可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=12×0+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+2$\sqrt{2}$．
故答案为：2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数、余弦函数的奇偶性，诱导公式，利用函数的周期性求函数的值，属于中档题．