题目内容
【题目】已知函数 .
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)设,证明:当
时,
;
(Ⅲ)设是
的两个零点,证明
.
【答案】(Ⅰ)在
上单调递减,在
上单调递增;(Ⅱ)当
时,
;(Ⅲ)证明过程见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导,并判断导数的符号,分别讨论的取值,确定函数的单调区间.
(Ⅱ)构造函数,利用导数求函数
当
时的最大值小于零即可.
(Ⅲ)由(Ⅱ)得 ,从而
,于是
,由(Ⅰ)知,
.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为
,
求导数,得 ,
若 ,则
,此时
在
上单调递增,
若 ,则由
得
,当
时,
,当
时,
,
此时在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅱ)令,则
.
求导数,得 ,
当时,
,
在
上是减函数.
而,
,
故当时,
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,当时,函数
至多有一个零点,
故,从而
的最小值为
,且
,
不妨设,则
,
,
由(Ⅱ)得 ,
从而,于是
,
由(Ⅰ)知, .
点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小,函数的零点问题:在(Ⅰ)中通过求导,并判断导数的符号,分别讨论的取值,确定函数的单调区间.(Ⅱ)通过构造函数
,把不等式证明问题转化为函数求最值问题,求函数
当
时的最大值小于零即可.(Ⅲ)要充分利用(Ⅰ)(Ⅱ)问的结论.
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