题目内容

【题目】已知函数 为自然对数的底数.

I)若曲线在点处的切线平行于,的值;

II)求函数的极值;

III)当,若直线与曲线没有公共点,的最大值.

【答案】12时,函数无极小值;当 处取得极小值,无极大值.31

【解析】试题分析:(1)求出,由导数的几何意义,解方程即可;(2)解方程,注意分类讨论,以确定的符号,从而确定的单调性,得极大值或极小值(极值点多时,最好列表表示);(3)题意就是方程无实数解,即关于的方程上没有实数解.一般是分类讨论, 时,无实数解, 时,方程变为,因此可通过求函数的值域来求得的范围.

试题解析:(1)由,

又曲线在点处的切线平行于,

,,解得

2,

, , 上的增函数,

所以函数无极值.

,,,

,; ,

所以上单调递减,上单调递增,

处取得极小值,且极小值为,无极大值.

综上,,函数无极小值

, 处取得极小值,无极大值.

3)当,

,

则直线: 与曲线没有公共点,

等价于方程上没有实数解.

假设,此时, ,

又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知上至少有一解,方程上没有实数解矛盾,

, ,知方程上没有实数解.

所以的最大值为

解法二:

1)(2)同解法一.

3)当,

直线: 与曲线没有公共点,

等价于关于的方程上没有实数解,即关于的方程:

*

上没有实数解.

,方程(*)可化为,上没有实数解.

,方程(*)化为

,则有

,,

变化时, 的变化情况如下表:













, ,同时当趋于, 趋于,

从而的取值范围为

所以当,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是

综上,的最大值为

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