题目内容
【题目】已知函数, 为自然对数的底数.
(I)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(II)求函数的极值;
(III)当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
【答案】(1)(2)当时,函数无极小值;当, 在处取得极小值,无极大值.(3)1
【解析】试题分析:(1)求出,由导数的几何意义,解方程即可;(2)解方程,注意分类讨论,以确定的符号,从而确定的单调性,得极大值或极小值(极值点多时,最好列表表示);(3)题意就是方程无实数解,即关于的方程在上没有实数解.一般是分类讨论, 时,无实数解, 时,方程变为,因此可通过求函数的值域来求得的范围.
试题解析:(1)由,得.
又曲线在点处的切线平行于轴,
得,即,解得.
(2),
①当时, , 为上的增函数,
所以函数无极值.
②当时,令,得, .
,; ,.
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上,当时,函数无极小值
当, 在处取得极小值,无极大值.
(3)当时,
令,
则直线: 与曲线没有公共点,
等价于方程在上没有实数解.
假设,此时, ,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.
又时, ,知方程在上没有实数解.
所以的最大值为.
解法二:
(1)(2)同解法一.
(3)当时, .
直线: 与曲线没有公共点,
等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:
(*)
在上没有实数解.
①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.
②当时,方程(*)化为.
令,则有.
令,得,
当变化时, 的变化情况如下表:
当时, ,同时当趋于时, 趋于,
从而的取值范围为.
所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是.
综上,得的最大值为.
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