Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若恒成立，证明：当时，．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

试题分析：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键．（I）利用导数的运算法则可得，对分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对分类讨论，得到当，满足条件且（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．

试题解析: 解：（Ⅰ）求导得

若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；

若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立

若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意

若0＜a＜2，当x∈（1，）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意

若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，

f（x）≤f（1）=0，合题意

故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．

当0＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）

＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），

∴．