Question

20．设正整数a，b，c满足：对任意的正整数n，aⁿ+bⁿ=cⁿ⁺¹
（1）求证：a+b≥c
（2）求出所有满足题设的a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）令n=1，利用作差法即可证明a+b≥c．
（2）根据等式关系，结合正整数的有关性质即可求出所有满足题设的a，b，c的值．

解答 证明：（1）当n=1时，a+b=c²，
则a+b-c=c²-c=c（c-1），
∵c∈N^•，∴c（c-1）≥0，
从而a+b-c≥0，即a+b≥c成立．
（2）不妨设a≥b，
易得$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{b}{c}）^{n}=c$，
若a＞c，则$\frac{a}{c}$＞1，
故（$\frac{a}{c}$）ⁿ＜c，
解得n＜$lo{g}_{\frac{a}{c}}c$，与n为任意的正整数矛盾．
若a≤c，则0＜$\frac{a}{c}$≤1，0＜$\frac{a}{c}$≤1，
故0＜（$\frac{a}{c}$）ⁿ≤1，0＜（$\frac{b}{c}$）ⁿ≤1，
从而0＜c≤2，
∵c∈N^•，∴c=1或2．
当c=1时，aⁿ+bⁿ=1，而aⁿ+bⁿ≥2，矛盾，舍去，
当c=2时，（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²=2，从而$\frac{a}{c}$=1，$\frac{b}{c}$=1，故a=b=c=2．
综上a=b=c=2．

点评 本题主要考查不等式的证明，根据条件进行合情推理是解决本题的关键．